Estrategias de solución de problemas

Contenido

• • Producir una figura blanda (ajustada)
    
  • Enriquecer la figura: rectas y círculos
  • Incluir la figura en una configuración más amplia
  • Buscar proporciones
  • Buscar lugares geométricos
  • Técnica del hilvanado para determinar lugares geométricos
  • Técnica del detector de puntos para determinar lugares geométricos
  • Detector de puntos avanzado

Producir una figura blanda (ajustada)

Cuando no se sabe construir una figura, es posible hacer una construcción blanda, es decir una construcción en la que hay puntos que se pueden arrastrar hasta que la figura cumpla las condiciones dadas. Obviamente, esta figura blanda no es una solución, pues si se arrastran nuevamente esos puntos, las condiciones se pierden. Pero gracias a ese ajuste obtenido por arrastre, se tiene una imagen de la figura solución, sobre la cual puede comenzarse lo que los griegos llamaban el análisis: buscar relaciones entre los objetos que componen la figura solución, hasta encontrar las relaciones que permitan hacer la construcción.

Enriquecer la figura: rectas y círculos

Como parte de ese análisis, es importante agregar objetos auxiliares a la figura, con el fin de hacer visibles relaciones entre los componentes de la figura. Para hacer visibles las relaciones de incidencia es necesario trazar rectas utilizando los puntos de la figura (para ver relaciones entre esas rectas: ángulos, paralelismo, perpendicularidad, puntos de intersección, etc.). Igualmente, se pueden trazar círculos con los puntos de la figura para detectar equidistancia y relaciones de ángulos.

Incluir la figura en una configuración más amplia

En algunos casos el enriquecimiento puede ser reproducir partes de la figura por simetría para verla como parte de una figura más amplia.

Buscar proporciones

Otras relaciones que pueden llevar a la construcción son los cocientes de distancias. Se miden distancias y se calcula el cociente, y se arrastra la figura para ver si ese cociente es constante.

Buscar lugares geométricos

En las figuras blandas puede buscarse el lugar geométrico de algún punto con respecto al punto móvil para ver si ese lugar geométrico puede construirse y si la intersección de ese lugar geométrico con algún objeto de la figura permite obtener las condiciones dadas.

Técnica del hilvanado para determinar lugares geométricos

Cuando se trata de determinar el lugar geométrico de todos los puntos que cumplen una determinada condición, cabri permite crear un punto libre y arrastrarlo hasta que la condición se cumpla con un grado de aproximación aceptable. Si se repite esta operación, se pueden obtener varios puntos que cumplen la condición (con un cierto grado de error), y de esta manera es posible identificar la forma del lugar geométrico, y su relación con los objetos de la figura. Es lo que Pierre-Marie Charriere llama la técnica del hilvanado haciendo una alegoría con la costura.

Técnica del detector de puntos para determinar lugares geométricos

El dispositivo de detector de puntos es una automatización de la técnica del hilvanado, de manera que sea Cabri el que coloque los puntos aproximados del lugar geométrico. El detector de puntos crea un punto condicional, que sólo existe si la condición dada se cumple con un cierto grado de aproximación. Una vez creado ese punto condicional, se superpone a un punto libre, de manera que pueda arrastrarse por toda la pantalla, y se activa la traza para que deje una huella en todas las posiciones que cumplen la condición dada con el grado de aproximación determinado.

Tomemos un ejemplo simple para ilustrar la construcción del detector de puntos. Supongamos que se quiere encontrar el lugar de todos los puntos equidistantes de dos puntos dados. La condición es entonces que las distancias a los dos puntos dados sean iguales. Como es prácticamente imposible arrastrar un punto en la pantalla hasta que las distancias a dos puntos dados sean iguales, es necesario definir un grado de aproximación aceptable. Creamos entonces un número que llamaremos Epsilon, para representar ese grado de aproximación.

Creamos entonces un punto libre P, medimos las distancias a los dos puntos dados, A y B y calculamos abs(PA-PB)

Se muestran los ejes, y se transfieren las medidas abs(PA-PB) y Epsilon sobre el eje de las abscisas. Se crea el segmento 0,abs(PA-PB), y la recta perpendicular al eje de las abscisas por el punto Epsilon. La intersección de estos dos objetos existe si y solamente si abs(PA-PB)<Epsilon

Ahora tenemos que transferir ese punto condicional sobre el punto P, de manera que al activar la traza, aparezca una huella en el lugar en el que P cumple la condición dada con el grado de aproximación Epsilon. Para lograrlo, vamos a utilizar un procedimiento denominado Ping-Pong por Yves Martin: creamos R simétrico de P con respecto a Q, y S simétrico de R con respecto a Q. De esta manera el punto S queda sobre P y existe si y solamente si abs(PA-PB)<Epsilon

Sólo nos falta activar la traza de S y arrastrar P. Cabri mostrará automáticamente las posiciones de P en las que las distancias a A y B serán casi iguales.

Detector de puntos avanzado

El detector de puntos puede hacere más eficiente de la siguiente manera: se crea un polígono en forma de cuadrícula que cubre el área de un cuadrado. Aquí ponemos a disposición el polígono (grille.fig), y la macro (grille.mac) que permite crearlo a partir de dos puntos. Se define el punto P como punto de ese polígono (y se oculta el polígono), de manera que una vez creado el punto S, se puede crear el lugar de S con respecto a P (modificar las preferencias de los lugares para que no se unan los puntos). De esta manera, se obtiene automáticamente una nube de puntos que cumplen la condición. Si se activa la traza de este lugar geométrico y se arrastra el polígono por la pantalla, aparecerán rápidamente los puntos que cumplen aproximadamente la condición.