Sangaku2
Descripción
Un cuadrado. Un cuarto de círculo con centro en un vértice del cuadrado y por los dos vertices adyacentes. un círculo tangente interior al arco de círculo y a dos lados del cuadrado. la figura es simétrica con respecto a una diagonal del cuadrado.Exploración1
Si se miden distancias, se encuentra que la distancia del vértice superior del cuadrado al punto de tangencia de los circulos es igual a la distancia del punto de tangencia al centro del círculo interior. Es decir, que el centro del círculo interior es simétrico del vértice con respecto al punto de tangencia.
Solución1
Se construye el cuadrado, el arco de circulo y la diagonal. Luego el simétrico del vértice superior derecho con respecto al punto de intersección del arco y la diagonal. Finalmente un círculo con centro en ese punto simétrico y que pase por el punto de intersección del arco y la diagonal.
Demostración1
La construcción se reduce a trazar la diagonal AC, y una recta perpendicular a esa diagonal por el punto M. Esa recta define el punto P sobre un lado del cuadrado, y se traza la perpendicular a ese lado por ese punto que corta la diagonal AC en el centro del círculo interior.Para demostrar que ese circulo es tangente al cuadrado, hay que demostrar que el triángulo ARS es congruente con el triángulo PMR. Se sabe que son rectangulos isósceles. si demuestro que PR es igual a AR, queda demostrado. Entonces tengo que demostrar que APR es isósceles, para lo cual tengo que demostrar que AP es bisectriz del ángulo DAR. Para lo cual debo demostrar que APM es congruenteo semejante a ADP. Como el ángulo APM es 90-RPA y el ángulo DPA es 90-RPA, puede concluirse que esos dos triángulos son semejantes. Por lo tanto ángulo PAR=ángulo APR, por lo tanto APR es isósceles, por lo tanto PR=AR, por lo tanto RS=RM, por lo tanto el círculo interior es tangente al cuadrado.
SOLUCIÓN 2.(Deissy Narvaez)
- trazar el poligono ABCD
2. construir una circunferencia con centro en A y radio AB 3. trazar la diagonal AC del cuadrado 4. trazar la perpendicular a la diagonal AC, tangente a la circunferencia en el punto E 5. prolongar los lados (AB y AD) del cuadrado hasta que se encuentren con la perpendicular trazada(FE), formando el triángulo isóceles AFG 6. hallar las bicectrices del triángulo y en el punto que se intersecan (H) construir una circunferencia con centro en H y radio HE
Solución de CABADU
Otra forma de resolver este ejercicio es calculando la longitud del radio de la circunferencia tangente al arco y lados del cuadrado en función de la longitud del radio del arco (con centro en A); y esa medida es igual al cociente entre raíz de dos menos uno y tres, luego el resultado de esta razón se multipica por la longitud del radio del arco con centro en A, es decir: PENDIENTE LA IMAGEN
Solución de CABADU
Otra forma de resolver este ejercicio es calculando la longitud del radio de la circunferencia tangente al arco y lados del cuadrado en función de la longitud del radio del arco (con centro en A); y esa medida es igual al cociente entre raíz de dos menos uno y tres, luego el resultado de esta razón se multipica por la longitud del radio del arco con centro en A, es decir:DEMOSTRACIÓN DE LA SOLUCIÓN 2
La construcción consiste en encontrar un triángulo cuyo incentro (intersección de las bisectrices) sea el centro de la circunferencia que soluciona el problema. Luego, lo que hay que demostrar es que la recta AC es perpendicular a un lado del triángulo, en este caso FG, y que esta recta pasa por el punto H (incentro del triángulo), de modo que el segmento de recta HE, es radio de la circunferencia solución. por definición del incentro, se tendrá que la circunfrencia mencionada es tangete a los tres lados del triángulo. pero la demostración de este hecho se tiene por construcción, ya que la diagonal del cuadrado coincide con la altura del triángulo y a la vez con la bicectriz del ángulo BAD, se tiene entonces que la diagonal AC es perpendicular al lado FG del triángulo y el punto E es la intersección de la perpendicular con el lado, el cual define el radio de la circunferencia tangente.
Exploración 3
Buscando proporciones, se encuentra que AB/AP=sqrt(2)Solución 3
Construir el cuadrado ABCD, el círculo de centro A que pasa por B, y el punto P imagen de B por una homotecia de centro A y razón 1/sqrt(2).La recta PD corta la diagonal AC en el punto O' centro del circulo solución
Exploración4
Utilización de lugar geométrico. Se hace una construcción blanda: cuadrado ABCD, círculo de centro A que pasa por B, diagonal AC. Luego punto O' sobre la diagonal AC, y un círculo de centro O' tangente al otro círculo. La solución se encuentra cuando este círculo es tangente al segmento AB. Se traza entonces una recta perpendicular a AB por O', y se construye el lugar del punto de intersección de esa recta con el círculo de centro O'. El lugar es una recta que pasa por el punto de intersección de la diagonal y el círculo de centro A.
Solución4
Construir el cuadrado ABCD construir el círculo de centro A que pase por B construir la diagonal AC construir E, punto de intersección de AC con el círculo de centro A Punto O' sobre la diagonal AC Círculo de centro O' que pase por E. Recta perpendicular a AB por O' F punto de intersección inferior de la recta perpendicular a AB con el círculo de centro O'. G punto de intersección de la recta EF y el segmento AB. Recta perpendicular a AB por G H punto de intersección de esa perpendicular y AC. circulo de centro H y que pase por E.
solución 5: Luis Belcredi
- Describir la figura:
La figura está compuesta por un cuadrado, un cuarto de circunferencia de centro en un vértice y que pasa por los vértices adyacentes al del centro y finalmente por una circunferencia tangente interiormente a dos lados del cuadrado y al arco. 2. Hacer y escribir la construcción: a) cuadrado ABCD, diagonal AC, punto de corte T de este segmento con la circunferencia de centro A que pasa por B. Arco DTB. Perpendicular (t) por T a AT. Punto de corte S de (t) com la recta(AD). ST y SM (M es el punto de contacto de la circunferencia interior al cuadrado con el lado AD son medidas iguales por ser segmentos de tangente trazados desde S a una misma circunferencia (o por tener igual potencia respecto de la circunferencia buscada). Compás de medida ST y centro en S, donde corte a (AD) tenemos el punto M de contacto de la circunferencia interior con el lado AD. La mediatriz de MT corta a (AT) en el centro de la circunferencia buscada. La trazamos y listo.
Solución 6
La demostración se hace teniendo en cuenta que los triángulos EAT y MOT son semejantes. Otra solución es construir el lugar geométrico de los puntos que equidistan del punto T y de uno de los lados. Este es una parábola con foco en T y directriz en uno de los lados. Para construirlo tomemos el punto S sobre un lado luego se traza la perpendicular al lado. El punto donde la mediatriz m del segmento TS corte a la perpendicular (punto P) describirá el lugar buscado .
Solución 7
Consiste en Determinar el simétrico del vértice C respecto del punto T, el cual será el centro de la circunferencia buscada. La demostración no presenta dificultad sabemos que TC = AB(raiz (2)) - AT , pero AT = AB, TC = AT (raíz ( 2) -1), AT = TO (raíz(2) +1) Luego TC = TO.
Solución 8
- Empecemos dibujando un cuadrado ABCD
- Trazamos la la diagonal AC
- La circunferencia de centro en A y radio igual al lado del cuadrado corta a la diagonal: Punto T. Entonces se trata de encontrar el centro O que es un punto que equidista del punto T y de los lados AB y AD del cuadrado. Este punto se puede encontrar de varias maneras:
Solución 9
Esta es una homotecia con centro en T. Con centro en algún punto O' de la diagonal AC, se traza una circunferencia que pase por T y por O' una perpendicular a cualquier lado del cuadrado y que corta a la corcunferencia anterior en M'. La semirrecta TM' corta al lado del cuadrado en el punto M, homotético de M'. Luego por este punto se traza una perpendicular al lado para encontrar el O, homotético de O'. 
Solución 10: Johanna Mendoza
Debemos construir un triángulo ABC isóceles, en el que uno de sus segmentos en este caso BA sea perpendicular al lado inferior del cuadrado. De esta manera con los segmentos BC y BA de igual medida, se podrá dibujar el círculo con centro en B y radio BC, interior al arco del circulo y tangente a dos lados del cuadrado como se observa en la figura:
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