Sangaku3

Descripción

Un cuadrado exterior dos arcos de círculo con centro en un vértice y que pasan por dos vértices adyacentes dos segmentos del punto medio de la base a los dos vértices opuestos un cuadrado interior cuyo lado esta definido por las intersecciones de los dos arcos y los dos segmentos anteriores un círculo tangente a los dos arcos y a un lado del cuadrado interior un círculo tangente a los dos arcos y a un lado del cuadrado exterior

Exploración

La construcción del cuadrado exterior, los arcos de círculo, los segmentos y el cuadrado interior no tiene problema. Todos los elementos quedan determinados una vez construido el cuadrado exterior.

La dificultad está en la construcción de los dos círculos tangentes a un segmento y dos arcos.

Sabemos que los centros de esos círculos deben estar sobre el eje de simetría de la figura, que es la mediatriz común al cuadrado exterior y el cuadrado interior. Además, cada centro debe ser equidistante de una recta y un círculo. Aplicando la técnica de los lugares geométricos, podemos encontrar todos los puntos que cumplen esta última condición.

Subproblema: ¿cual es el lugar geometrico de todos los puntos equidistantes de una recta y un círculo?

Trazamos entonces una recta y un círculo de centro O.

Trazamos una recta perpendicular por un punto P de la recta de base, colocamos un punto Q sobre esa recta, y trazamos el segmento QO. Llamamos R la intersección del segmento QO con el círculo. En el momento en que PQ=QR, tenemos un punto del lugar buscado. Podemos entonces desplazar P y Q para mirar algunas posiciones solución. Hay dos construcciones exactas de puntos del lugar. La primera, cuando el segmento QO es perpendicular a la recta de base, la solucion es el punto medio de PR. La segunda, cuando el segmento QO es paralelo a la recta de base, debe formarse un cuadrado con la recta de base, la recta PQ, el segmento QO y la tangente al círculo en R.

Ademas observamos que a medida que P se aleja de O, Q se aleja de la recta de base. Lo cual nos hace pensar que el lugar geométrico puede ser una parábola.

Si nos concentramos en el triángulo PQR, que debe ser isósceles en Q, el eje de simetría es la mediatriz de PR, por lo tanto la solucion es la intersección de una recta perpendicular a la base y una mediatriz, que es la construcción de la parábola, solo que en este caso el punto R no es fijo. Sin embargo, si consideramos cada vez el segmento QO, el punto R se encuentra quitándole a este segmento el radio del círculo. Entonces podemos compensar esa resta añadiendo el radio sobre la perpendicular a la base desde el punto P.

De esta manera obtenemos que el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de una recta r y un círculo de centro O y radio R, es una parábola con foco en O y cuya directriz es una recta paralela a r en el semiplano opuesto al círculo, y a una distancia R.

Continuación del problema original

Sabiendo construir el lugar geometrico de los puntos equidistantes de un circulo y una recta, podemos buscar la interseccion de ese lugar con el eje de simetria de la figura, que sera el centro del circulo buscado.

Exploracion 2

Utilizando lugar geometrico.

La dificultad esta en construir un circulo que sea tangente a la vez al lado superior del cuadrado y a los dos arcos. Puede hacerse una construcción blanda colocando un punto P cualquiera sobre la mediatriz del lado superior del cuadrado y que pase por el punto medio de ese lado.

Al mover el punto sobre la mediatriz, en algunas posiciones no corta los otros dos circulos, en otras los corta en dos puntos. Entonces se construye el lugar geométrico del punto medio de esos dos puntos de intersección cuando  P se mueve sobre la mediatriz.

Puede verse que el lugar geométrico es un círculo que pasa por dos vértices del cuadrado.

Solución 2

Cuadrado ABCD

Círculo  c1 de centro A por B

Círculo c2 de centro B por A

Mediatriz de AB

Q punto medio de CD

Punto P sobre la mediatriz de AB

Círculo c3 de centro P por Q

Puntos R y S interseccion de los circulos c1 y c3

T punto medio de R y S

circulo c4 por T, A y D

U segunda intersección de c4 y c1

Mediatriz de U y Q

V intersección de esa mediatriz con la mediatriz de AB

circulo c5 de centro V por Q

Demostración

Escriba aqui la demostración de que el proceso descrito anteriormente produce la descripción del comienzo.