Sangaku4

Descripción

Un triángulo equilátero, dos cevianas simétricas respecto a la mediana que parte del tercer vértice. El triángulo queda dividido en tres triángulo y un cuadrilátero. Dos circunferencias congruentes inscritas una, en el cuadrilátero y la otra en el triángulo isósceles que tiene un lado sobre el lado del triángulo equilátero.

Exploración

Escriba aquí una descriptión detallada de todas las acciones que realice con Cabri para resolver el problema

Solución 1 Luis Callo

1.  Consideremos L el lado del triángulo equilátero
2. Se trazan las medianas AM y BN.
3. Con centro en M y diámetro BC se traza una circunferencia que pasa por N y corta en D a la mediana AM de donde se deduce que BD mide.
4. Con centro en B y radio igual a BD se traza un arco que corte a la mediana BN en O el cual será el centro buscado y su radio será       
5.  
6. Luego de dibujar la circunferencia de centro O y radio ON, el resto de la construcción no presenta mayor dificultad. Se puede Trazar una circunferencia con diámetro AO que corte a la circunferencia de centro O en T punto de tangencia o simplemente con centro en A o C y radio CN = L/2 trazar un arco que cortará a la circunferencia en los puntos de tangencia T y T₁
7. 
8. La prolongación de AT corta BC en E. La circunferencia de centro O’, inscrita en el triángulo ABE, será la otra circunferencia buscada

Solución 2 Luis Callo

1. Esta construcción es más simple, consiste en trazar arcos con centros en A y C y radio igual a la mitad del lado del triángulo ABC.  
2. Por el baricentro G (punto de intersección de las medianas) se traza perpendicular a la mediana BM que cortará a los arcos anteriores en T₁ y T₂, éstos son los puntos de tangencia en una de las circunferencias buscadas.
3.  
4.  
5. Por T₁ o T₂, trazar una perpendicular a AT₁ que corte a BM en O₁. También se puede trazar la bisectriz del ángulo T₁AM para determinar O₁
6. La construcción se continúa como en el caso anterior

Demostración

Escriba aqui la demostración de que el proceso descrito anteriormente produce la descripción del comienzo.