Triángulo equilátero sobre paralelas no coplanares

Construir un triángulo equilátero que tenga sus vértices sobre tres rectas paralelas no coplanares

Exploración1 (Hugo Cuellar)

Sean a, b y c tres rectas paralelas no coplanares. En a fijamos un punto A, y en b ubicamos un punto móvil B. Estos serán los vértices de un triángulo equilátero.

Para construir el otro vértice se trazan dos esferas de radio AB, una con centro en A y otra con centro en B .

Sobre la curva de intersección de estas dos esferas (una circunferencia) se encuentra el tercer vértice del triángulo equilátero.

Al desplazar B sobre b, la circunferencia sobre la cual se encuentra el tercer vértice cambia de tamaño, y en algún momento se corta con la recta c.

Se observa también que la circunferencia sobre la cual está el tercer vértice se encuentra en el plano mediador de A y B.

Desde O, punto medio de AB, se traza una recta que pasa por la intersección D, entre el plano mediador de A y B con la recta c. Se observa que al desplazar B hay un momento en que el punto D está sobre la circunferencia.

¿Cómo se comporta la recta OD cuando B se mueve sobre b?

¡Veamos!

Parece ser que estas rectas son tangentes a una parábola.

¿Pero cómo encontrarla?

La parábola está en el plano que contiene a la recta c que pasa por el punto O.

Al ubicar este último plano adecuadamente se observa que es como si el punto A fuera el foco de la parábola y la recta B fuera la directriz.

Solución1

Sean a, b y c tres rectas paralelas no coplnares. Ubicamos un punto A en a y un punto b en B.

Se traza el plano que contiene la recta c y pasa por el punto medio O, de AB

Se construye el punto A´ (proyección de A sobre el plano)

Se construye b´(proyecciión de b sobre el plano)

Se traza la parábola, sobre este plano, con foco A´ y directriz b´

Esta parábola corta a la recta c en los puntos M y N.

Se construye una esfera con centro en A y radio AN. Se determinan los puntos de intersección de esta esfera con la recta b, T y S.

Existe un rango (aún no se como determinarlo) en el que los triángulos ANT y AMS son equiláteros.

Desafortunadamente, esta es una solucion aproximada, pues si se aumenta el número de decimales de las medidas de los ángulos, puede verse que los triángulos no son equiláteros.

Demostración1

Escriba aqui la demostración de que el proceso descrito anteriormente produce la descripción del comienzo.

Propuesta de Exploración2 (Martin Acosta)

Propongo explorar de la siguiente manera: considerar un plano ABC perpendicular a las tres rectas paralelas. El triángulo ABC es entonces la proyección ortogonal del triángulo equilátero solución sobre ese plano. Sea AB'C' un triángulo equilátero solución del problema. Entonces el plano ABC y el plano AB'C' se cortan en una recta AD, y haciendo una rotación adecuada del triángulo AB'C' alrededor de esa recta, se obtiene un triángulo equilátero AB"C" en el plano ABC. Si logramos determinar la recta AD y el triángulo AB"C", podremos construir la solución con una rotación alrededor de la recta AD.

Esta es una figura Cabri, manipulable.

Sabemos que D pertenece a la recta B"C" y a la recta BC. Además, BB" y CC" son perpendiculares a AD. Esto nos permite hacer una construcción blanda: se define un punto D sobre la recta BC, luego la recta AD, y las perpendiculares a AD por B y C. Luego un triángulo equilátero que tenga sus vértices en A y en cada una de las perpendiculares. Moviendo el punto D hasta que esté sobre el lado B"C" del triangulo equilátero se obtiene la solucion.